Výpočtové metody jaderného reaktoru

    Nyní budou krátce popsány základní matematické modely a metody, které se používají při fyzikálních výpočtech jaderného reaktoru. Nejobecnějším vyjádřením vztahu rovnováhy neutronů v reaktoru je Boltzmannova kinetická rovnice. Tato rovnice byla poprvé použita v souvislosti se studiem nehomogenních směsí plynu a její použití pro úlohy týkající se transportu neutronů je spojeno s podstatnými zjednodušeními v mezích obecné teorie plynu. Zatímco v teorii plynu se bere v úvahu pohyb všech částic, v teorii reaktorů se předpokládá, že v pohybu jsou pouze neutrony. Tento předpoklad není zcela oprávněný, protože jádra sama vykonávají pohyb. Rychlosti pohybu neutronů jsou však ve srovnání s pohybem jader mnohem větší, a proto je možno je zanedbat. Nejjednodušším matematickým modelem v teorii reaktorů, který má vcelku omezenou platnost, je tzv. model nekonečného prostředí. Tento model je zvláště vhodný při zkoumání jaderných procesů, ke kterým dochází uvnitř systému ve značné vzdálenosti od fyzikálních hranic. Pomocí tohoto modelu je možno vypočítat energetické spektrum neutronů, tj. rozložení neutronů v závislosti na jejich kinetické energii.

    Druhým zajímavým modelem je jednorychlostní přiblížení. Energetické rozložení neutronů štěpení, jak je zřejmé z obr.l.l, má ostré maximum. V prvním přiblížení možno předpokládat, že neutrony v reaktoru mají stejnou energii určenou tvarem tohoto spektra. I když se na první pohled zdá toto přiblížení velice hrubé, je velice užitečné při výkladu řady otázek fyziky reaktorů, týkajících se zejména studia reaktorů s tepelnými neutrony. V tomto přiblížení může být Boltzmannova rovnice v případě násobícího prostředí (tj. prostředí, které obsahuje štěpitelnou látku) převedeno na Helmholtzovu rovnici, tj. na tzv. stacionární vlnovou rovnici. Toto přiblížení se zpravidla nazývá difúzní rovnicí neutronů. Rozložení neutronů v tomto případě je závislé pouze na prostorových souřadnicích.

    Dalším matematickým modelem je model spojitého zpomalování neutronů, známý jako Fermiho teorie stárnutí. Tato teorie je prvním přiblížením k Boltzmannově rovnici, ve kterém rozložení neutronů je závislé na dvou nezávisle proměnných ‑ energii a poloze. Závislost hustoty toku neutronů na směru jejich pohybu není uvažována, protože se předpokládá, že v oblastech vzdálených od rozhraní je úhlové rozložení neutronů izotropní. V tomto přiblížení přechází Boltzmannova rovnice na parciální diferenciální rovnici, jaká se používá i v případě vedení tepla. Fermiho teorie stárnutí je nejvhodnější pro zkoumání zpomalování v reaktorech s moderátory, které jsou tvořeny prvky s vysokým hmotnostním číslem.

    Jak již bylo výše uvedeno, ve většině případů jsou reaktory obklopeny reflektujícím materiálem, aby se snížil únik neutronů ze systému. Abychom mohli stanovit rozložení neutronů v těchto souborech, je nutné úlohu řešit nejméně pro dvě oblasti, tj. pro aktivní zónu a reflektor. Zpravidla praktické požadavky podstatně reaktor komplikují, takže při teoretických výpočtech se setkáváme s nutností řešit úlohu pro více oblastí.

    Při studiu mnohozónových systémů s respektováním energetického spektra neutronů se obvykle používají numerické metody. Pro tyto účely byly vypracovány tzv. mnohogrupové metody. Mnohé z nich jsou založeny na modelu spojitého zpomalování. Vhodným modelem, rozpracovaným pro výpočty reaktorů s velkým počtem zón, je dvougrupové přiblížení. Tento dvougrupový model lze použít v různých formách jak pro výpočet tepelných, tak i rychlých reaktorů.

    Další druhy problémů, se kterými se setkáváme v reaktorové fyzice, se týkají heterogenních reaktorů. Výše uvedené systémy, které byly složeny z více oblastí, jsou charakterizovány relativně velkými rozměry a každá oblast sama o sobě představuje homogenní prostředí. V heterogenním reaktoru je aktivní zóna tvořena mříží, složenou z malých buněk. Každá buňka obsahuje prostorově oddělené palivo a moderátor. Avšak zde jsou rozměry nehomogenit podstatně menší než u mnohozónových reaktorů. Výpočet heterogenního reaktoru vyžaduje detailní studium charakteristik jednotlivých buněk. Zejména je zapotřebí určit prostorově energetické rozložení neutronů v těchto buňkách. Pak je možné již poměrně snadno určit i charakteristiky reaktoru.

    Výsledky získané pomocí difúzní teorie a Fermiho teorie stárnutí dávají velice často přibližně stejné výsledky pokud jde o rozložení neutronů. Důkladnější analýza vyžaduje použít poloempirických modelů nebo vyššího přiblížení k transportní rovnici.

    Každý z uvedených modelů je možno úspěšně používat jak pro výpočty stacionárních, tak i nestacionárních úloh z fyziky reaktorů. Přesto však difúzní rovnice, respektující časovou závislost, se řeší snadno pouze v několika jednoduchých případech. Je již obtížnější zkoumat složitější systémy (např. vícezónový reaktor) a také systémy, u kterých je nutné respektovat energetickou závislost rozložení neutronů. Časově závislé úlohy, spojující výkon reaktoru s rozložením neutronů, nedovolují separovat časovou proměnnou od prostorové. Přesto však v mnohých případech je možné získat základní představy o studovaném jevu použitím jednoduchého fyzikálního modelu, který dovoluje separovat proměnné. Samozřejmě taková řešení nejsou zcela přesná, avšak, jak již bylo řečeno, umožňují získat a zhodnotit základní charakteristiky zkoumaného systému.

    Vyjmenované modely jsou přiblížení s různým stupněm přesnosti k základní Boltzmannově rovnici. Výběr modelu pro každý konkrétní případ se řídí požadovanou přesností a podstatou zkoumaného jevu.

    Integrální neutronové charakteristiky reaktoru můžeme určit pomocí relativně hrubých modelů. K této kategorii výpočtů patří stanovení kritického parametru. Na druhé straně, jemnější efekty, zejména chování neutronů v blízkosti rozhraní pásem, a také výpočty buněk heterogenních reaktorů vyžadují jemnějších metod. Důvodem k tomu jsou poměrně malé rozměry, na kterých závisí dané efekty. Přitom mnohé ze zjednodušujících předpokladů o rozložení hustoty toku neutronů i složení prostředí (např. izotropie) se stávají neopodstatněné. Přesný popis podobných fyzikálních jevů dává pouze Boltzmannova kinetická rovnice. To ovšem neznamená, že pomocí kinetické rovnice musí být vyřešen každý z těchto případů. Kromě toho jsou rozpracovány hrubé modely, které se používají k řešení úloh dokonce i tohoto druhu. Předběžná ocenění, získaná z těchto řešení, přispívají značně ke zmenšení práce potřebné k získání vyhovujícího řešení.

    Úkolem následujících kapitol bude popsat některé z těchto přiblížení a ukázat oblasti jejich použití.